Module 01 · la structure
Trahir est toujours le bon choix — et c'est le problème
Un dilemme du prisonnier n'est pas une histoire, c'est une structure de gains. Quatre nombres suffisent à la définir, et deux inégalités décident si le dilemme existe vraiment. Réglez-les vous-même ci-dessous : vous verrez le paradoxe apparaître et disparaître.
Laboratoire 01Quatre curseurs. Le dilemme n'existe que dans une fenêtre précise.
L'autre coopère
L'autre trahit
Vous coopérez
3 / 3R — récompense
0 / 5S — le pigeon
Vous trahissez
5 / 0T — la tentation
1 / 1P — punition
✓T > R > P > S
✓2R > T + S
Trahiréquilibre de Nash au coup unique
4points perdus par la trahison mutuelle
La démonstration, en trois lignes
Supposez que l'autre coopère. Vous gagnez R en coopérant, T en trahissant — et T > R, donc trahissez. Supposez maintenant qu'il trahisse. Vous gagnez S en coopérant, P en trahissant — et P > S, donc trahissez. Dans les deux cas, trahir rapporte davantage. On dit que trahir est une stratégie dominante : elle est meilleure quoi que fasse l'adversaire, ce qui dispense même de deviner ses intentions.
Les deux joueurs raisonnent ainsi, trahissent, et repartent avec P chacun. Or R > P. Deux êtres parfaitement rationnels obtiennent donc un résultat que tous deux jugent pire que l'accord qu'ils auraient pu conclure. Ce n'est pas une erreur de raisonnement : c'est le raisonnement correct qui mène là.
2R > T + S
La seconde condition, souvent oubliée. Sans elle, deux joueurs auraient intérêt à alterner — l'un se sacrifie, l'autre encaisse, puis on échange — et le total dépasserait la coopération franche. Cette inégalité garantit que coopérer ensemble est bien le meilleur résultat collectif.
Le nom vient d'une mise en scène, pas d'une prison. La structure est formulée en 1950 chez RAND par Merrill Flood et Melvin Dresher ; c'est Albert Tucker qui l'habille de l'histoire des deux prisonniers pour l'exposer à des non-mathématiciens. L'habillage a si bien fonctionné qu'on oublie souvent qu'il est accessoire : la course aux armements, la publicité entre concurrents, la surpêche ou le dopage sportif ont exactement la même matrice.
Module 02 · à vous
Jouez, et voyez ce que vous déclenchez
Rien ne remplace le fait de décider soi-même. Choisissez un adversaire, jouez une vingtaine de tours, et observez : la plupart des stratégies ne vous punissent que si vous les avez trahies en premier.
Laboratoire 02Vos points comptent, mais regardez surtout la bande d'historique.
coopération
trahison
bande du haut : vous · bande du bas : l'adversaire
0vos points
0ses points
0tours joués
—votre taux de coopération
Module 03 · les données
Le tournoi d'Axelrod, rejoué ici
En 1980, le politologue Robert Axelrod invite des chercheurs à soumettre des stratégies sous forme de programmes, et les fait s'affronter toutes contre toutes. Le principe est simple : chaque stratégie rencontre chaque autre — et elle-même — sur une longue partie, et l'on additionne les points. Le tableau ci-dessous n'est pas recopié d'un livre : il est calculé dans votre navigateur, à chaque chargement.
Laboratoire 03Neuf stratégies · 45 confrontations · résultats calculés en direct
| Rang | Stratégie | Score total | Moyenne par tour | Trahit en premier ? | Description |
|---|
Le résultat historique tient en une phrase : la stratégie la plus simple a gagné. Donnant-donnant — coopérer au premier tour, puis répéter le dernier coup de l'adversaire — tenait en quelques lignes, et fut soumise par Anatol Rapoport. Axelrod publia les résultats, organisa un second tournoi où chacun connaissait l'issue du premier, reçut soixante-deux stratégies conçues pour battre Donnant-donnant, et Donnant-donnant gagna de nouveau.
Vous avez sans doute remarqué que le tableau ne dit pas exactement ça. Dans notre tournoi, Donnant-donnant ne finit pas première — c'est sa variante indulgente qui passe devant. Ce n'est pas une erreur, et nous ne truquons pas le tableau pour retrouver le résultat de 1980 : un classement dépend du bocal. Axelrod avait quatorze stratégies proposées par d'autres chercheurs ; nous en avons neuf, choisies pour être lisibles. Changez le nombre de tours et l'ordre bouge encore.
Ce qui résiste, en revanche, c'est le fait intéressant : les six premières places sont occupées par les six stratégies qui ne trahissent jamais les premières, et les trois dernières par les trois qui le font. Nous avons vérifié cette séparation à 50, 100, 200 et 400 tours : elle est parfaite à chaque fois, alors même que le nom du vainqueur change. Une leçon robuste ne se reconnaît pas à ce qu'elle désigne toujours le même gagnant, mais à ce qu'elle survit au changement de conditions.
Une exception, et elle est instructive : montez le bruit et la séparation se dégrade. À 5 % il ne reste que cinq gentilles dans les six premières, à 10 % quatre, et à 20 % c'est la stratégie toujours gentille qui finit dernière. Être incapable de riposter cesse d'être viable dès que le monde devient incertain. Ne nous croyez pas sur parole : les curseurs sont juste au-dessus.
Ce qui résiste, en revanche, c'est le fait intéressant : les six premières places sont occupées par les six stratégies qui ne trahissent jamais les premières, et les trois dernières par les trois qui le font. Nous avons vérifié cette séparation à 50, 100, 200 et 400 tours : elle est parfaite à chaque fois, alors même que le nom du vainqueur change. Une leçon robuste ne se reconnaît pas à ce qu'elle désigne toujours le même gagnant, mais à ce qu'elle survit au changement de conditions.
Une exception, et elle est instructive : montez le bruit et la séparation se dégrade. À 5 % il ne reste que cinq gentilles dans les six premières, à 10 % quatre, et à 20 % c'est la stratégie toujours gentille qui finit dernière. Être incapable de riposter cesse d'être viable dès que le monde devient incertain. Ne nous croyez pas sur parole : les curseurs sont juste au-dessus.
Un point qui surprend tout le monde. Donnant-donnant ne bat jamais son adversaire direct. Elle ne trahit jamais la première, donc au mieux elle égalise, au pire elle perd d'un cheveu. Elle gagne le tournoi sans gagner un seul duel — parce qu'elle obtient de bons scores partout, pendant que les stratégies agressives s'entre-détruisent quand elles se rencontrent. Le classement récompense le total, pas les victoires. Beaucoup de situations réelles fonctionnent ainsi, et c'est peut-être la leçon la plus utile de cette page.
Poussez maintenant le curseur de bruit. Il simule une erreur de transmission : de temps en temps, le coup joué n'est pas celui qui arrive. Donnant-donnant y perd beaucoup de son avantage — deux exemplaires qui se rencontrent partent en représailles mutuelles interminables, chacun punissant une trahison que l'autre n'a jamais voulue. Les stratégies un peu indulgentes, elles, s'en sortent mieux. Le pardon n'est pas une faiblesse morale ajoutée après coup : dans un monde bruité, c'est un avantage mesurable.
Un détail vaut la peine d'être vérifié par vous-même, parce qu'il reproduit un résultat publié. Mettez le bruit à 5 %, puis à 20 % : c'est Pavlov qui prend la première place. Elle ne raisonne pas en termes de faute et de punition, mais de résultat — j'ai gagné, je recommence ; j'ai perdu, je change — ce qui lui permet de sortir seule d'un cycle de représailles déclenché par une erreur. C'est exactement ce que Nowak et Sigmund montrent dans Nature en 1993, et vous venez de le retrouver avec deux curseurs.
Module 04 · le long terme
Ce qui survit, génération après génération
Un tournoi désigne un vainqueur une fois. Mais que se passe-t-il si les stratégies qui marquent le plus se reproduisent davantage, et que les autres disparaissent ? C'est le tournoi écologique d'Axelrod : la composition de la population change à chaque génération, proportionnellement aux scores obtenus.
Laboratoire 04Chaque bande est une stratégie. Sa hauteur est sa part de la population.
—stratégie dominante à la fin
—sa part de population
—stratégies éteintes
—coopération dans la population
Le scénario typique se déroule en deux temps. Au début, les stratégies agressives prospèrent : il reste des naïves à exploiter, et se servir rapporte. Puis les naïves disparaissent — précisément parce qu'elles ont été exploitées — et les agressives se retrouvent entre elles. Elles se trahissent alors mutuellement, encaissent P à chaque tour, et s'effondrent à leur tour. Ce qui reste, ce sont les stratégies qui coopèrent entre elles tout en sachant se défendre.
Une nuance que les vulgarisations sautent souvent. Donnant-donnant est stable face à une invasion, mais elle n'est pas un équilibre évolutionnairement stable au sens strict : une population entièrement composée de Donnant-donnant peut être envahie sans coût par une stratégie systématiquement gentille, puisque toutes deux coopèrent en permanence et marquent identiquement. La dérive peut alors installer des gentilles — qui ouvrent la porte aux méchantes. La coopération ne s'installe pas une fois pour toutes ; elle se maintient.
Module 05 · la synthèse
Quatre traits que partagent les gagnantes
Axelrod a analysé ce qui distinguait les stratégies bien classées des autres. Quatre propriétés reviennent — et vous pouvez les vérifier dans le tableau du module 03.
| Trait | Ce que ça veut dire | Pourquoi ça paie | Contre-exemple |
|---|---|---|---|
| Gentille | Ne trahit jamais la première | Évite d'amorcer des cycles de représailles qui coûtent aux deux camps | Sondeuse trahit de temps en temps, et le paie |
| Réactive | Riposte immédiatement à une trahison | Sans riposte, elle se fait exploiter jusqu'au dernier tour | Gentille se fait vider par Méchante |
| Indulgente | Retourne coopérer dès que l'autre coopère | Permet de sortir d'un cycle de représailles, surtout avec du bruit | Rancunière ne pardonne jamais et se condamne |
| Lisible | Son comportement se devine vite | L'adversaire comprend qu'il a intérêt à coopérer | Hasard n'apprend rien à personne |
Ces quatre traits ne sont pas des conseils moraux déguisés — c'est ce qui ressort d'un calcul de points. Le résultat est d'autant plus frappant : une stratégie qui ne cherche jamais à battre son adversaire, qui accepte de perdre chaque duel, finit première. Et une stratégie qui exploite tout ce qu'elle croise finit par n'avoir plus que des exploiteurs à exploiter.
Ce que cette page ne dit pas. Le dilemme du prisonnier itéré est un modèle, et un modèle étroit : deux joueurs, deux choix, des gains connus, aucune communication, aucune réputation transmissible à des tiers. Beaucoup de situations réelles en sortent — dès qu'il y a des groupes, des contrats, des tribunaux ou de la parole donnée publiquement, la structure change. Ne concluez pas de cette page que « la science prouve qu'il faut coopérer ». Elle montre quelque chose de plus modeste et de plus solide : même en supposant des joueurs purement intéressés, sans morale ni confiance, la coopération peut être la meilleure stratégie dès que la partie se répète. C'est déjà beaucoup.
Vérification
Sept questions
Chacune se déduit d'un module ci-dessus.
Références
D'où viennent ces résultats
Formulation d'origine — Merrill Flood et Melvin Dresher, RAND Corporation, 1950. L'habillage narratif des deux prisonniers est dû à Albert W. Tucker.
Les tournois — R. Axelrod, « Effective Choice in the Prisoner's Dilemma », Journal of Conflict Resolution 24(1), 1980, et « More Effective Choice in the Prisoner's Dilemma », 24(3), 1980, pour le second tournoi et ses soixante-deux participants.
La synthèse — R. Axelrod, The Evolution of Cooperation, Basic Books, 1984. Source des quatre propriétés (gentille, réactive, indulgente, lisible) et du tournoi écologique.
Équilibre de Nash — J. Nash, « Equilibrium Points in n-Person Games », PNAS 36(1), 1950. La trahison mutuelle est l'unique équilibre de Nash du jeu à un coup.
Stabilité évolutionnaire — J. Maynard Smith & G. Price, « The Logic of Animal Conflict », Nature 246, 1973, pour la notion de stratégie évolutionnairement stable utilisée au module 04.
Pavlov et le bruit — M. Nowak & K. Sigmund, « A strategy of win-stay, lose-shift that outperforms tit-for-tat in the Prisoner's Dilemma game », Nature 364, 1993. C'est de là que vient le résultat du curseur de bruit.
Comment ces chiffres sont produits
Le tournoi tourne réellement à l'ouverture de la page : neuf stratégies, chacune contre chacune et contre elle-même, soit quarante-cinq confrontations de deux cents tours — neuf mille parties. Les stratégies qui tirent au hasard utilisent un générateur à graine fixe, affichée sous le tableau : les résultats sont donc reproductibles, deux visites donnent les mêmes nombres, et vous pouvez recalculer les nôtres. Aucun chiffre de cette page n'est écrit en dur, hormis les valeurs historiques citées dans le texte.
Créer une cryptomonnaieUn autre problème d'accord entre inconnus qui n'ont aucune raison de se faire confiance.
Entraîner une IAUn réseau de neurones qui apprend sous vos yeux, sans bibliothèque.
Cerveaux comparésQuatorze espèces, et ce que compter les neurones ne dit pas.
Toutes les formations libresSans inscription, sans suivi, réutilisables en classe.